viernes, 28 de septiembre de 2007

ASPECTOS GENERALES DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES


1. UNA MIRADA GENERAL A LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES
1. La aparición de Los Elementos es un hito no sólo en la matemática, sino en la lógica griega. En ellos, queda representado el ideal aristotélico de ciencia, a saber una ciencia deductiva que parte de principios básicos (Cf. Campos 2006: p.489). Los métodos de los que se valió Euclides para ellos fueron dos: una demostración directa, y una indirecta. Para mostrar esto es mejor irse a la obra del propio Euclides. Un buen ejemplo del primer método es la demostración del teorema nueve que consiste en probar que se puede bisecar un ángulo. En este teorema, Euclides parte de los teoremas 1, 3, 8 y del primer postulado, y, a partir de estos, muestra cómo una situación que parece muy compleja puede ser descompuesta en partes que ya habían sido probadas. En efecto, en este teorema se muestra cómo una bisección de un ángulo puede ser analizada como un aglutinamiento de triángulos que, a la vez, pueden ser sujetos a un principio de igualdad; los demás elementos que mencioné permiten explicitar estas relaciones que parecen ya estar dadas por el ángulo mismo.
El segundo método de Euclides es el de la demostración indirecta. Este método también se conoce como la ‘reducción al absurdo’. En la demostración directa, como dije, a una situación compleja trata de hacérsele coincidir con unos principios previamente aceptados. En la indirecta lo que se hace es suponer una situación que se contraponga con lo que uno está tratando de probar, con el propósito de que esta situación sea completamente incongruente con lo ya aceptado. Hay que tener en cuenta que la lógica de Euclides pertenece a la que comúnmente suele llamarse, lógica clásica. Una de las cosas que identifica esta lógica es la irreconciliable dicotomía entre verdadero y falso. Una vez que se ha demostrado la incongruencia de esto que se quiere refutar, se puede decir que probamos la situación compleja.

2. Se debe destacar igualmente la estructura de cada teorema. El teorema se compone de tres partes. En la primera parte hay que destacar dos cualidades básicas: 1) la hipótesis, y 2) la tesis. Una hipótesis es una condición bajo la cual se da la tesis. En el teorema 29 del primer libro de Los Elementos, por ejemplo, la hipótesis es que si hay una línea recta EF que incide sobre las rectas paralelas AB y CD, entonces se da la siguiente tesis compuesta: 1. los ángulos alternos son iguales entre sí, 2) un ángulo exterior es igual al interior que le es opuesto, y 3) los ángulos interiores cercanos a él son iguales a PI, es decir a 180 grados.
En la segunda parte se hace una gráfica en la que se muestran los objetos que cumplen las cualidades especificadas en la hipótesis. Así, de seguir nuestro ejemplo, el siguiente paso será hacer una gráfica en la que se representen las paralelas y la intersección que hace la tercera recta.
En la tercera parte se trata de probar que la representación que señala la hipótesis no puede comportarse de un modo distinto de como lo pinta la tesis. Siguiendo el ejemplo, cuando yo pruebo el teorema, establezco que de las identidades citadas no puedo prescindir cuando dos rectas paralelas son interceptadas por una tercera.

3. Hasta ahora he señalado rasgos generales de la demostración euclidiana. Lo que sigue de este breve texto espera resaltar unos puntos importantes del primer libro de los ‘Los Elementos’.
Primero que todo, me parece digno de resaltar la existencia de teoremas de traslado. Los teoremas de traslado permiten al geometra imbricar[1] una forma o una magnitud en otra. Un ejemplo de un teorema de traslado es el teorema tres. Lo que dice este teorema es que si tenemos dos líneas diferentes, podemos restarle a la mayor una recta equivalente a la más pequeña. La utilidad de este teorema se ve durante todo el primer libro. Permite probar, por ejemplo, la bisección de un ángulo.
El nombre teorema de traslado es inapropiado, debo admitirlo. Parece que Euclides concibiera al traslado como un proceso que consistiera en que, a partir de una forma con magnitud, se pudiese construir una representación de esta forma para imbricarla a la figura que se quiere analizar. Esto se ve en el teorema citado. Éste no dice que si tengo dos rectas diferentes, puedo tomar a la más pequeña y llevarla hasta la mayor; sino que, a partir, de la recta más chica puedo extraer un modelo que se reste a la mayor. Otro teorema de traslado que puedo citar es el 23. Lo que me dice este teorema es que a partir de un ángulo, yo puedo construir uno similar en un punto determinado de una recta dada.
Vale destacar los casos de igualdad entre triángulos. El primer caso de igualdad aparece demostrado en el teorema 4. En él, Euclides muestra que dos triángulos que tienen en común dos lados y un ángulo, son iguales entre sí. Este teorema también se caracteriza por la utilización de la noción común 4, en su demostración. Según este axioma cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
El segundo caso de igualdad de triángulos, lo da Euclides en el teorema 8. El teorema enuncia que si dos triángulos tienen todos sus lados iguales entre sí, serán también iguales. Este teorema tiene la particularidad de ser demostrado indirectamente, por medio de la reducción al absurdo. Tiene de peculiar, igualmente, el uso que se le da a la reducción al absurdo. Voy a reformular la explicación de la reducción al absurdo que dí en la sección 1, párrafo dos, con base a la explicación que ofrecí de la ‘estructura del teorema’, en la sección dos, párrafo tres. Cuando intento demostrar algo por medio de una demostración indirecta, lo que hago es suponer que, dadas las hipótesis que creo necesarias para que se cumpla la tesis que quiero probar, las vinculo con una tesis contraria. Este vínculo provoca una contradicción, y esta contradicción constituye la mayor prueba de que no puede haber una separación entre la hipótesis y la tesis. Por esta razón, podemos decir que, en una reducción al absurdo, la contradicción se sigue del intento por encajar algo inválido en algo válido. Lo que tiene de particular este teorema es que no infiere la invalidez de un argumento por la contradicción que se produce cuando lo intento encajar con algo válido, sino que la infiere por que encaja perfectamente con algo inválido. Para que no se diera el teorema octavo debería cumplirse lo que se probó que no se puede dar en el teorema séptimo.
El tercer caso de igualdad es descrito en el teorema veintiséis. Éste dice que dos triángulos que tengan dos ángulos y lado equivalente, serán iguales entre sí. Al igual que en el caso anterior, Euclides lo demuestra indirectamente.
El teorema veintinueve, dentro de la parte de las paralelas (Cf. [El.] Nota 49), tiene una vital importancia. Este permite que se den los teoremas 31, 34, 37. El teorema 37 permite que se den los teoremas 41 y 46, que, a la vez son necesarios para poder justificar el teorema de Pitágoras.

2. EL PROBLEMA DEL ESCLARECIMIENTO AXIOMÁTICO

En el comentario que da a las nociones comunes del primer libro de Los Elementos, Campos (2006: 514) menciona la historia de Apolonio, un matemático griego que intentó justificar la noción común 1, sin tener éxito. Según Campos, Aristóteles pensaba que los axiomas eran verdades autoevidentes que no pueden ser demostradas (Ibíd.). En esta parte pretendo mostrar que el que los axiomas no sean susceptibles de demostración hace que se dé un problema de objetividad.
Uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos fue Blaise Pascal. A pesar de las apariencias, no me voy a concentrar en su obra matemática, sino en la concepción que tenía de las matemáticas. Para Pascal una ciencia demostrativa perfecta demuestra todas las proposiciones que utiliza y define todos los términos que usa (Cf. Pascal 1981:p.280). Sin embargo, la ciencia demostrativa perfecta es imposible para el hombre. No se puede demostrar ni definir todo lo que se usamos, pues este trabajo se reiteraría infinitamente (Ibíd. p. 281). La conclusión de Pascal, con respecto a esto, es que hay unas verdades primitivas que sirven como base a todo el conocimiento deductivo.
Una de las principales características de estas verdades primitivas consiste en que éstas no pueden ser definidas. Para Pascal los intentos de definición de estas verdades primitivas suelen oscurecer la expresión, antes de aclararla.
Podría pensarse que, para Pascal, las ciencias demostrativas no tuviesen una base fuerte, por consiguiente. Sin embargo, lo que dice al respecto es que la definición formal es reemplazada por una conciencia implícita por parte del sujeto hacia eso indemostrable e indefinible. Pascal pone el ejemplo del tiempo y lo que dice es que aunque no podamos definirlo, sí sabemos a qué nos referimos cuando hablamos de él.
Sólo vine a Pascal para resaltar el siguiente problema. Si no podemos definir una verdad definida, ¿cómo podemos identificar los pensamientos que tenemos de esta verdad con la verdad misma?
En Aristóteles parece que se da un problema similar. La explicación que dio Apolonio del primer axioma consiste en decir: “Sea A igual a B y B igual a C; digo que A es igual a C. Porque dado que A es igual a B, ocupa el mismo espacio; y, puesto, que B es igual a C, ocupa el mismo espacio. Por tanto, A ocupa el mismo espacio de C” (Campos 2006: p.514). Proclo, comentarista antiguo, dijo que había tres problemas en esta demostración: 1) el término medio, B, no está claro qué es, 2) la identidad existencial sería igual a la identidad espacial, y 3) no se ha probado una transitividad espacial, en el sentido de que dos objetos que ocupen el mismo espacio de un tercer objeto puedan ocupar ellos mismos también el mismo espacio (Ibíd.515). El que no podamos demostrar un axioma, muestra que éste es ambiguo. Lo que hizo que Apolonio cayera en el error de demostrar el axioma, fue el sentimiento de creer que aquello que le suscitaba esta suerte de principio de transtividad representaba todo el sentido del axioma. La crítica que da Proclo a esta demostración muestra que él también tiene una propuesta propia de cómo se debe entender al axioma. Lo que hace imposible la demostración de un axioma no es su evidencia, sino su obscuridad.
BIBLIOGRAFÍA
CAMPOS, A.
(2006) “Introducción a la historia y la filosofía de la matemática”. Bogotá: Unibiblos.
EUCLIDES.
[El.] (1994) “Elementos de la geometría” (tr. M. Puertas Castaños). Madrid: Gredos.
PASCAL, B.
(1981) “Obras pensamientos, provinciales, escritos científicos, opúsculos y cartas” (tr. Carlos R. de Dampierre). Madrid: Alfaguara
[1] ‘Imbricar’ puede entenderse por ‘superponer’. Me pareció más apropiado el uso de este término, por eso no acudí a la sinonimia.
ESTA ES LA COPIA EN GOOGLE DOCS, POR SI LES PARECE MÁS CÓMODO:

3 comentarios:

jp dijo...

Juan David: Disfruté mucho su reporte. Gracias por un buen trabajo.

Las reflexiones de la primera parte sobre el proceder de Euclides me parecen muy interesantes. Sobre el tercer tema (el de los teoremas de traslado), fíjese ud. en que el teorema 3, que ud. cita como ejemplo, está basado en el teorema 2 (construir desde un punto una recta igual a una recta dada), que a su vez se basa en el 1 (construir un triángulo equilátero). En últimas, las construcciones de los primeros 3 teoremas se basan en la igualdad de los radios del círculo: es esa igualdad la que permite
[t.1] construir un triángulo de lados iguales (porque todos son radios),
[2] construir una recta igual a otra (porque ambas son radios a los cuales se resta lados de un triángulo equilátero), y
[3] restar la magnitud de una recta a otra más grande (porque esa magnitud es la de un radio de un círculo).

En conclusión, me parece que es el círculo, en últimas, la herramienta básica de los teoremas de traslado, y todo porque según su definición todos sus radios son de igual magnitud. ¡Ésa podría ser contada entre las maravillas que del círculo al comienzo de la Mecánica de ps. Aristóteles!

jp dijo...

En la interesante reflexión de la segunda parte, ud. concluye que “el que no podamos demostrar un axioma, muestra que éste es ambiguo”. Tengo un par de comentarios al respecto.

1. Parece que ud. obtiene su conclusión (que los primeros principios son ambiguos por ser indemostrables) al mostrar que Apolonio y Proclo tienen interpretaciones diferentes del mismo axioma. A partir del intento de explicación de Apolonio del axioma 1, se hace comprensible su interpretación del mismo, pero no veo claramente cuál es la interpretación de Proclo y en qué se diferencia ésta de la de Apolonio. (Tenga en cuenta que lo que parece estar haciendo Proclo no es interpretar el axioma, sino señalar problemas en el intento de demostración de Apolonio.) En resumen, mi comentario es éste: Su tesis de que los axiomas, por indemostrables, son ambiguos, parece depender de que Apolonio y Proclo tienen interpretaciones divergentes del axioma 1, pero no me queda clara la interpretación de Proclo. ¿Podría mostrarla más claramente?

2. Por otro lado, y más importante aún, Aristóteles no estaría de acuerdo con que la indemostrabilidad de los primeros principios los haga ambiguos. ¡Al contrario! –diría él-, los primeros principios son indemostrables porque son lo más verdadero, lo más necesario, lo más evidente, y eso hace vano buscar demostrarlos a través de principios anteriores. Si fueran demostrables, su verdad dependería de otros principios, y ya no serían primeros (cf. Analíticos posteriores I.2). Aristóteles, entonces, estaría completamente en desacuerdo con su postura.
Y, sin embargo, las preguntas que yacen en el fondo de su reflexión subsisten: ¿Cómo se determina el significado de un principio, si no puede demostrarse? ¿De dónde surge su verdad, si no es de una deducción? ¿Cómo se llega a conocer un primer principio, que por naturaleza es indemostrable?

Lo que Aristóteles tendría para decir sobre cómo llegar a los primeros principios me parece sumamente interesante. Aquí aparece la dialéctica, que Aristóteles parece emplear para determinar los primeros principios de múltiples ciencias -incluidas la ontología, la ciencia natural y la ética-.

Este asunto de la relación entre dialéctica y ciencia (cómo Aristóteles emplea aquélla para alcanzar los primeros principios que sustentan todo el edificio deductivo de ésta) ha sido uno de los problemas más intensamente estudiados por los aristotélicos en el último siglo. Si le interesa leer un poco más al respecto, para relacionarlo con el problema crucial que ud. menciona, sobre el problema de la determinación de los principios de un sistema deductivo, cuénteme y le paso cosas chéveres.

Miguel G. dijo...

Estoy de acuerdo con Juan Pablo de que se trata de un muy buen informe. Aunque yo le tengo una pequeña pregunta: ¿qué tiene que ver exactamente la primera parte con la segunda? La verdad las sentí algo inconexa. En ambas se hacen consideraciones importantes e interesantes sobre los "Elementos", pero creo que se podría hacer un mayor esfuerzo por hilar: ¿tiene algo que ver lo que dice sobre el traslado con que los axiomas sean indemostrables o son dos cosas totalmente inconexas que nunca se van a poder conectar? Y si sí tienen que ver, ¿cómo se relacionan? Y si no, ¿por qué se concentra en esas dos cosas en un mismo trabajo? Como le digo, su informe está muy bueno, pero ese tipo de detalles son muy importantes en el trabajo académico en general.

La segunda parte de su escrito fue la que me pareció más interesante. El comentario sobre la dialéctica en Aristóteles Juan Pablo me lo quitó de la boca, porque le iba a decir exactamente lo mismo: uno no puede demostrar los primeros principios, pero la propuesta de Aristóteles es que por lo menos sí se puede refutar a quien los niegue (como ocurre con el principio que prohíbe la contradicción en "Metafísica" IV). Y yo le digo más, porque creo que Platón también es un filósofo que tiene mucho que aportar a esta discusión sobre la dialéctica y los primeros principios, sólo que no es tan fácil de leer como Aristóteles, porque habría que remitirse a varios y complicados diálogos (como los libros IV, V, VI y VII de la "República"). Pero igual Gama me ha enseñado algunas cositas al respecto y si le interesa con gusto se las puedo comentar también.

Finalmente que le quería decir que creo que puede mejorar mucho la redacción de una parte crucial de su escrito, a saber, "Si no podemos definir una verdad definida, ¿cómo podemos identificar los pensamientos que tenemos de esta verdad con la verdad misma?". Me parece que eso está un poquito enredado, lo cual dificulta la comprensión.