viernes, 14 de septiembre de 2007


Las matemáticas egipcia y babilonia preceden a la griega. Se suele considerar que ésta se apoya en los cimientos de estas civilizaciones fluviales. Mucho antes de que Euclides enunciara la demostración formal del teorema de Pitágoras en las culturas anteriores a la griega se encuentran rastros de él, siendo más exactos, en las llamadas triplas pitagóricas. Las triplas pitagóricas mostraban grupos de números que cumplían la propiedad del teorema de Pitágoras. Así el grupo de los números 3,4 y 5 es una tripla pitagórica, pues es evidente que 32+42=52. A las sociedades a las que me refería eran la india y la egipcia, aunque es obvio que la civilización india no entra dentro de las civilizaciones fluviales (Campos 2006: 96).
Las civilizaciones fluviales tienen unas características que las hace diferentes a la griega, pero eso no quiere decir que carezcan de valor. El propósito que mueve la primera parte de este escrito es el de describir la matemática de los egipcios y babilonios.
Para James Ritter (1998: 56) hay tres elementos comunes en los problemas matemáticos de estas dos culturas: la parte retórica, la parte numérica y el algoritmo de resolución. En la parte retórica se daba la descripción del problema, en la numérica se introducían los datos iniciales necesarios para la resolución de un problema en cuestión, y en la parte algorítmica se explicitaban los pasos que debía seguir todo el que quisiera resolver el problema.
Para demostrar esto Ritter muestra problemas de matemáticas similares de Egipto y Babilonia, respectivamente. Los problemas residen en el encuentro de volúmenes de ciertos cuerpos. En el caso de los problemas egipcios, Ritter da dos ejemplos. Me limitaré a describir el primero que consiste en el encuentro del volumen de un cilindro. Los datos iniciales del problema son la altura y el diámetro cuyos valores son, respectivamente, 10 y 9. Además de hallar el área, ésta debe darse en una dimensión determinada. El procedimiento era el siguiente:
1. Se multiplicaba 9 (diámetro) por 1/9. El evidente resultado era uno.
2. Ese uno se le restaba a 9, dando como resultado 8.
3. El ocho obtenido se multiplicaba por sí mismo, por lo cual el total es 64. De esta forma convertían la dimensión inicial que eran codos, a codos2.
4. Luego multiplicaban el 64 por la altura del cilindro que, según los datos iniciales, era 10. El resultado obtenido era 640 codos3.
5. No bastaba con tener el resultado en codos cúbicos, como ya dije, era necesario que esto se pasara a una unidad que se llamaba khar. Para hacerlo, debían restarle a 640 su mitad. El resultado de la conversión de codos cúbicos a khar era, entonces, 320 khatar. (Cf. Ibíd.57).
Un punto interesante que se encuentra al ver los problemas egipcios es el de observar cómo estos realizaban sus cálculos. Los egipcios tenían nuestras cuatro operaciones básicas, sin embargo algunas de éstas tenían unos casos especiales a los que se le consideraba como operaciones. Para entender los casos especiales es necesario comprender la jerarquía numérica egipcia.
La igual que nosotros, los egipcios admitían la distinción entre números fraccionarios y números enteros. Pero el conjunto de los números fraccionarios egipcio no es tan grande como el nuestro. Para ellos sólo se podían considerar números fraccionarios los cuantavos y la fracción 2/3. Un cuantavo es, lo que hoy en día llamaríamos, el inverso de un número entero (Cf. Ibíd.62).
Puede decirse, siguiendo a James Ritter, que lo que hace que se den esos casos especiales es el que los egipcios consideraran inválidas fracciones como 5/9 (Cf. Ibíd.62-63). A lo que me refería cuando afirmaba que los egipcios tenían casos especiales en unas operaciones, era a que en estas operaciones necesitaban recurrir a la ayuda de unas tablas de resultados. Así una operación tan simple como multiplicar un cuantavo por dos, necesitaba del apoyo de estas listas. De las múltiples equivalencias que transcribe Ritter vale la pena mencionar una, la que resulta de multiplicar por dos a 1/5. El resultado es 1/3+1/15, que evidentemente es 6/15, o 2/5.
La diferencia más notable entre los babilonios y egipcios es que los primeros contaban con un sistema sexagesimal, mientras que los otros coincidían con nosotros en un sistema decimal.
Para entender a cabalidad el sistema sexagesimal es necesario reflexionar sobre el decimal. Detengámonos, por ejemplo, en el número 475, sabemos que es equivalente a 400+70+5. Esto se puede escribir de la siguiente manera: (4*102)+ (7*101)+ (5*100). Algo similar ocurría en el sistema sexagesimal babilónico. Así el número 475 en sistema sexagesimal es “(4*602)+ (7*601)+ (5*600)” que en nuestro sistema es 14825.
Cabe destacar que hay casos en los que se puede dar el caso de números como 58 23, pues cada cifra puede tener un rango de números de 0 hasta 59, al igual que en el sistema decimal en cada cifra pueden darse números de un rango de 0 a 9. Para evitar la ambigüedad de las cifras que contienen números mayores a 10, se escriben entre las cifras un punto. De esta manera se escribe número que sirvió como ejemplo: 58.23.
Al igual que en el sistema decimal puede haber números decimales (0.25) en el sexagesimal también se presentan. Un decimal como 0.25 se escribiría, en el sistema decimal, así: 25*10-2; en el sexagesimal, por el contrario, las mismas cifras se escribirían así: (2*60-1)+ (5*60-2). El signo decimal en el sistema sexagesimal es el punto y coma. Así, el último ejemplo quedaría 0; 25.
En el sistema sexagesimal babilonio no había procedimientos que permitieran saber el resultado de operar un número con otro, como sí los hubo en el egipcio. Para saber los resultados se acudía a tablas, como en el caso egipcio (Ibíd. 71).
En la matemática griega hay que distinguir dos etapas. La primera etapa está representada por el pitagorismo primitivo. La segunda se caracteriza por un método principalmente geométrico (Serres 1998).
Para los pitagóricos todas las cosas eran números. Tan convencidos estaban de su doctrina que se empeñaron en investigar las diferentes relaciones que se podían establecer entre los números y la posible presencia de estas relaciones en la realidad. Una de estas relaciones era la posible forma numérica que podían tener las cosas, para los pitagóricos un número tenía una forma (Campos 2006:77). Es así como surge la doctrina de los números figurados. Hay unos números triangulares, según esto. Para entender la naturaleza de los números triangulares debe ser comprendida la naturaleza de las progresiones aritméticas. Una progresión es una serie de números: 1, 2, 3, 4…n. Sin embargo, esta serie de números tiene un comportamiento muy especial. En una progresión el número siguiente está dado por la suma del número anterior con una constante. En el caso que puse como ejemplo, la constante es uno. De esta manera 2 es igual a 1 más 1, 3 igual a 2 y 1, y así sucesivamente. La fórmula general para esta progresión es: k= n+1.
En la gráfica del principio puede ser observada la relación de los números triangulares con la progresión anteriormente descrita. El primero es igual a 1, el segundo es igual a 1 más 2, el tercero es igual a 1 más 2 más 3. En general puede concluirse que el número triangular M es igual a 1+2+…+ j. Si tomamos al número triangular M de dos formas distintas, es decir si primero decimos que M=1+2+…+j, y luego lo ordenamos así: M=j+ (j-1)+…+1; y, además de esto, sumamos ambas ordenaciones entre sí; se obtiene lo siguiente:
M=1+ 002 +…+ j
M= j+ (j-1)+…+1
----------------------
2M= (j+1)+ (j+1)+…j veces+ (j+1)= (j+1) (j)
De donde queda que M= {(j+1) (j)}/2


Sin embargo, hubo algo que marcó a los pitagóricos, haciendo que reformularan su teoría. Esta revolución se origina cuando los pitagóricos primitivos se dan cuenta de la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado, es decir de la raíz de dos (Ibíd. 103). Un apoyo a esta conclusión se haya también presente en Serres. Según él, los pitagóricos primitivos no admitían sino la existencia de enteros y racionales, pero “con el encuentro de la diagonal se encuentran magnitudes que el cálculo no contempla” (Serres 1998: 104). Y es allí cuando surge la segunda etapa de la matemática griega, la geométrica. La aparición de la diagonal provoca, según Serres, la aparición de la demostración, también una característica esencial de esta etapa. Si la aritmética por medio de cálculos llegó a la imposibilidad, los griegos toman el camino de lo que en apariencia es más racional, la geometría que sólo consiste en mostrar, no en medir (Ibíd.).Esta conclusión también está presente Bourbaki quien, según Campos, dice que la geometría surge para poder representar magnitudes inconmensurables (Campos 2006:194).
La segunda parte de la matemática griega es esencialmente geométrica, según esto. Un hito particular de este tipo de matemática fueron los elementos de Euclides. En este libro Euclides recoge la tradición en una forma ordenada. En ese orden hay que destacar tres piezas básicas:1) Las definiciones, 2) los postulados y 3) las nociones comunes. Es interesante la importancia que le da Serres a cada una de estas partes. Las definiciones, en primera instancia, le dan a la geometría un carácter científico, los postulados establecen las condiciones con las que se ha de trabajar en cada demostración, y, por último, los axiomas reflejan el carácter comunitario de la ciencia, pues Serres piensa que la ciencia está determinada por las condiciones sociales en las que se da (Serres 1998:113)
En los tres textos está implícito el problema del avance de las ciencias. Para Ritter el que las civilizaciones fluviales tratadas, guardaran un registro de resultados notables les permitió empezar a tener intuiciones de relaciones entre diversos resultados (Ritter 1998: 71), para Serres la sociedad condiciona el avance de la ciencia. En el libro de Campos, aunque no se trata este problema directamente sí se puede encontrar sus rastros. Campos transcribe dos fragmentos: uno de Hegel y otro de Schopenhauer. Los dos fragmentos tienen algo en común, la crítica que se hace a los elementos de Euclides. Esta crítica afirmaba que el establecimiento de los pasos en la demostración de los teoremas es arbitrario y no tiene un carácter necesario. Tanto para Schopenhauer como para Hegel el que el paso de una demostración esté dado responde más al criterio del autor que a la naturaleza misma de lo que se intenta demostrar. La respuesta que da Campos es que nada en la geometría se origina arbitrariamente. Según Campos, para el descubrimiento de un nuevo enunciado matemático se puede recurrir a dos caminos: 1) un método sintético, y 2) un método analítico. El primero consiste en partir de principios ya conocidos para generar verdades menos evidentes. La naturaleza del segundo es suponer lo que se va a demostrar y, a partir, de esta suposición sacar unas conclusiones que, de ser verdadero, coincidirán con los conocimientos ya dados.
El avance de la ciencia cuenta con un apoyo subjetivo y uno objetivo. En el apoyo objetivo entran las consideraciones que hace Serres. Sin embargo lo que me interesa tratar ahora, brevemente, es el apoyo subjetivo. El impulso que pueda darle un hombre al conocimiento es intuitivo. Se da una experiencia que es común a personas con la misma formación académica, pero sólo una de ellas es capaz de hallar una relación poco común. Esta relación poco común, sin embargo, no se da bien detallada, la persona que la halla concibe algo extraño en algo que anteriormente pudo considerar evidente. Cuando halla ese elemento extraño se esfuerza por detallar el problema que subsiste en él y esa búsqueda por el detallar lo extraño es la base de la investigación.




BIBLIOGRAFÍA
CAMPOS, A.
(2006) “Introducción a la historia y la filosofía de la matemática”. Bogotá, Unibiblos.
RITTER, J.
(1998) “A cada uno su verdad: las matemáticas en Egipto y en Mesopotamia”. En: Historia de las ciencias (ed. Michel Serres). Madrid, Cátedra.
SERRES, M.
(1998) “Gnomon: los comienzos de la geometría en Grecia”. En: Historia de las ciencias (ed. Michel Serres). Madrid, Cátedra.
Nota: En los pasajes de la matemática babilónica los superíndices del original han sido eliminados. Mi recomendación es que cuando vean la separación que hago de un número en centenas, etc, por medio de una multiplicación por 10 o 60, consideren al último número un subíndice. En el caso de los decimales es más fácil, pues es evidente que las últimas cifras van precedidas de un negativo, lo que expresa el inverso o el inverso al cuadrado.

5 comentarios:

Juan Camilo dijo...

Su reporte está bien hecho. Por un lado, reseña con precisión especificidades de los tres textos que le ayudan a trazar un puente más adelante. Posteriormente, lanza una tesis interesante que tiene que ver con la filosofía de la ciencia en general, sin embargo, encuentro que no la desarrolla a fondo, sino que sólo la plantea. No está mal lanzar hipótesis, pero si la hubiera sustentado con más fuerza su texto sería mucho más valioso. Por último, tiene varios errores tipográficos que pudo evitar de haber revisado el texto; y aunque la redacción está bien, pudo haber sido mejor.

Miguel G. dijo...

En términos generales, estoy de acuerdo con el comentario de Juan Camilo. Yo lo agregaría que me parece que a su informe le falta más conexión entre los temas que trata, porque el paso de Egipto y Babilonia a Grecia se dio muy rápido y, al final, no es del todo claro por qué se lo dio. No se hace explícita exactamente cuál es la conexión, ni qué tiene que ver todo lo reseñado con la tesis del final. Otra cosa, ya dicha, pero que creo es indispensable repetir, es que la tesis no se pone al final. Se supone que ese tipo de cosas son el centro del escrito.

jp dijo...

Me gustó harto su reporte, Juan. Tengo tres comentarios/preguntas, que me gustaría que intentara contestar por este mismo medio:

(1) Dice ud.: "por último, los axiomas reflejan el carácter comunitario de la ciencia, pues Serres piensa que la ciencia está determinada por las condiciones sociales en las que se da (Serres 1998:113)". Pero ¿cómo pasa de esto a aquello? Es decir, ¿qué es lo específicamente comunitario que reflejan los axiomas o nociones comunes?

(2) Habla ud. de dos fuentes de evidencia a favor del progreso científico: una "objetiva" (de la cual hablaría Serres) y una "subjetiva". ¿Podría explicarme un poco más en qué consiste esta diferenciación?

(3) Sobre el aspecto "comunitario" de la ciencia, menciona ud. como evidencia subjetiva el que individuos excepcionales que investiguen asuntos "extraños" y los problematicen. Esto parece suponer una noción del genio como la figura central de la historia de la ciencia. Esta concepción parece encajar mucho con las historias tradicionales que nos han contado sobre la ciencia (básicamente desarrollada por gente como Aristóteles, Arquímedes, Newton, Darwin y Einstein). Desde este punto de vista, el aspecto colaborativo y comunitario de la ciencia (que ud. dice que Serres defiende) se obscurece. Y sin embargo, en la ciencia contemporánea parece que es mucho más importante que en las historias tradicionales el trabajo en equipo y la construcción colectiva del conocimiento. Sería interesante revisar en el caso de Grecia Antigua si podemos aceptar básicamente como correcta la visión "genial" de la ciencia, o si podemos encontrar elementos de construcción colectiva en la evidencia que tenemos a nuestra disposición.

Gracias por su trabajo.

jp dijo...

(Por otro lado, póngale harto cuidado también a los comentarios críticos de los monitores.)

Juan David Ardila dijo...

Para saber qué se puede considerar evidente, debo recurrir a la experiencia que tengo de los usuarios de la ciencia. Por ese lado, creo que respondo a (1).
La definición de estos dos tipos de apoyos se puede ver obscurecida por las palabras 'objetivo' y 'subjetivo'. A lo que me refería con el apoyo 'objetivo' es que una postura científica (en el sentido más llano de la palabra) necesita de un apoyo multitudinario para que pueda reclamar su valor en un saber. ¿Es que el que una teoría no se publique le resta valor? Acaso, ¿el que la inquisición prohibiera lo que iba en contra de sus principios le resta valor a la propuesta de estos científicos? En estos casos las posiciones tienen valor, sin embargo no han sido aceptadas y su utilidad se ve bloqueada por el contexto en el que germinan. En esa medida el contexto permite que se dé el avance científico si ayuda a una teoría a que adicione su valor al campo del cual trata, independientemente de cuáles sean las intenciones con las que el contexto permite que se dé esta adición.
Un mito que generalmente suelen escuchar quienes asisten a una facultad de filosofía es la del descubrimiento de la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado. Supuestamente cuando uno de los pitagóricos primitivos la descubrió y la comunicó al resto, los demás planificaron un viaje marítimo en honor a su descubrimiento. Lo interesante de esta historia es que cuando estaban en el mar, arrojaron a éste a quien hizo el descubrimiento. Independientemente de la verdad de esta historia, ésta muestra que el que el avance de la ciencia depende de que el contexto acepte los descubrimientos que se dan en él.
Otro factor para el avance de la ciencia es el ‘subjetivo’. Son los investigadores quienes llegan a conclusiones sobre el comportamiento de lo físico o lo ideal. Estas conclusiones son subjetivas, el instante en el que se descubren relaciones entre sucesos (de cualquier tipo) es personal, una mente no puede estar presente en dos cuerpos. Se pueden dar dos casos: 1) varias personas con la misma experiencia de múltiples sucesos llegan a la misma conclusión, y 2) varias personas tienen una misma experiencia de múltiples sucesos pero sólo una llega a conclusiones sobre estos. El primer caso parecería refutar que se da un apoyo subjetivo para el avance de la ciencia. Lo que yo creo es que éste no es el caso. El que se den simultáneamente los descubrimientos de todas las personas, no quiere decir que esto sea comunitario. En el segundo caso es evidente que se da una labor personal. Creo que con esto respondo (2).
Parece que la pregunta 3 se desvanece con la respuesta a 2. La concepción que tengo del trabajo científico actual es la siguiente, la menciono para mostrar, si estoy en lo correcto que se da el apoyo subjetivo, y, en el caso de estar equivocado, para que se comprenda la causa del error. En el trabajo científico actual varios científicos investigan un mismo fenómeno, los descubrimientos que se hacen se comentan en una suerte de sesiones informativas. En este caso el que se compartan conclusiones no quiere decir que no se dé un trabajo personal por llegar a ellas.
Un prejuicio que parece tiene usted es que cuando se habla del apoyo subjetivo de la ciencia, piensa que éste debe tener las dimensiones de los que hizo un Newton. Parece, sin embargo, que la especificidad del saber actual desplaza poco a poco esta creencia. Un científico, sin ser genio, puede perfectamente llegar a una conclusión condicional (en x condiciones se da y) y esto no le quita valor a esta conclusión.
Espero que las respuestas sean satisfactorias.